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青蛙的约会

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 A 和青蛙 B，并且规定纬度线上东经 000 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 111 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙 A 的出发点坐标是 xxx，青蛙 B 的出发点坐标是 yyy。青蛙 A 一次能跳 mmm 米，青蛙 B 一次能跳 nnn 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长 LLL 米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入格式

输入只包括一行五个整数 x,y,m,n,Lx,y,m,n,Lx,y,m,n,L。

输出格式

输出碰面所需要的次数，如果永远不可能碰面则输出一行一个字符串 Impossible。

样例 #1

样例输入 #1

1 2 3 4 5

样例输出 #1

4

提示

对于 100%100\%100% 的数据，1≤x≠y≤2×1091 \le x \ne y \le 2 \times 10^{9}1≤x=y≤2×109，1≤m,n≤2×1091 \le m, n \le 2 \times 10^{9}1≤m,n≤2×109，1≤L≤2.1×1091 \le L \le 2.1 \times 10^{9}1≤L≤2.1×109。

思路：
根据题意首先可以推出（mt+x）%L=(nt+y)%L ,然后可以转化成（m-n）t+kL=(y-x).（这里的t和k是未知数），所以可以转化成ax+by=c,然后就可以进行扩展欧几里得定理，求出x，(这里的a=(m-n),b=L,c=y-x.)，
利用扩展欧几里得到的数是gcd(a,b)，如果这个数不能够被c整除，那么这两只青蛙无论怎么跳都不能够相遇，欧几里德的公式是ax + by = gcd(a, b)，但是本题需要求的是ax + by = c, 所以就有了 (ax + by) * c / gcd = gcd * c / gcd; 所以就要x * c / gcd，而且x的通解是x +k * b / gcd，所以就要取模b / gcd才能得到最小x，为了避免x是一个负数，我们应该对(x%（b/gcd）+(b/gcd)%(b/gcd),这样得到我们想要的答案.
AC代码：

#include
#define lmw ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
#define int long long
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=1,y=0;return a;}int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);int z=x;x=y;y=z-a/b*y;return gcd;
}
signed main(){lmw;int l,r,m,n,L;cin>>l>>r>>m>>n>>L;int a=m-n;int b=L;int c=r-l;if(a<0){a=-a;c=-c;}int x,y;int op=exgcd(a,b,x,y);if(c%op!=0){cout<<"Impossible\n";}else {x=x*c/op;b/=op;x=(x%b+b)%b;cout<